Spektralanalyse
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Die Ergebnisse von Spektralanalysen können bei der Untersuchung von Zeitreihen interessante Details zutage fördern. Auf Basis der so gewonnenen Informationen wird es darüber hinaus möglich, andere Transformationsverfahren gezielt so zu parametrisieren, dass sie als optimale Filter zur Unterdrückung unwesentlicher Informationen wirken.
Die folgenden Beispiele sollen Ihnen lediglich eine Vorstellung davon vermitteln, was mit Hilfe der Spektralanalyse möglich ist. Eine umfassende Diskussion dieses Themas würde leicht ein ganzes wissenschaftliches Buch füllen. Wir beschränken uns daher an dieser Stelle auf ein Einsatzgebiet und zwei einfachere Beispiele, die ohne tiefergreifende physikalische und mathematische Kenntnisse nachvollziehbar sind: die Ermittlung zyklischer Verhaltensweisen und die Extraktion von Parametern für Informationsfilter.
Um die Vorgehensweise deutlich zu machen, beginnen wir mit einer experimentellen Zeitreihe. Winkelfunktionen - wie beispielsweise sin(x) - eignen sich hervorragend für die Erzeugung experimenteller Reihen mit bekannten Zykluslängen. Im folgenden Bild haben wir auf diese Weise eine experimentelle Zeitreihe generiert.
Bild 1: Die in diesem Bild dargestellte Zeitreihe hat eine konstante Zykluslänge von 13 Tagen. Der rote Kurvenabschnitt markiert einen vollständigen Zyklus. Durch Rundungsfehler in der Berechnung erscheinen die einzelnen Kurvenabschnitte nicht vollständig identisch, was jedoch für die Analyse ohne Bedeutung ist.
Mit dem Wissen um das gleichmässige zyklische Verhalten der Zeitreihe ist es ein Leichtes, vorherzusagen, welchen Wert das Signal am Tag 52 haben wird - den gleichen wie 13 Tage zuvor am Tag 39, nämlich 0. In diesem Beispiel ist es noch leicht, sowohl das zyklische Verhalten als auch die Länge eines vollständigen Zyklus aus der graphischen Darstellung abzulesen.
Komplexer wird das Problem, wenn wir die experimentelle Zeitreihe aus drei Sinuskurven unterschiedlicher Zykluslängen zusammensetzen.
Bild 2: Die obige Kurve ist das Resultat der Addition von drei Sinuskurven mit unterschiedlichen Zykluslängen. Dass sich diese Reihe streng zyklisch verhält, ist höchstens für ein geschultes Auge offensichtlich. Mit Hilfe einer Fourier-Transformation kann man diese Reihe von der Zeit- in die Frequenz-Domain transformieren, um die Reihe auf zyklisches Verhalten hin zu untersuchen.
Für den ungeübten Betrachter ist im Bild 2 bereits nicht mehr offensichtlich, dass es sich um eine rein zyklische Zeitreihe handelt. Die Überlagerung der drei unterschiedlichen Zykluslängen führt zu immer wieder neuen Mustern. Es wäre nun nicht mehr ohne weiteres vorhersagbar, welchen Wert das Signal am nicht mehr dargestellten Tag 160 haben würde.
Mit Hilfe einer Spektralanalyse lässt sich die obige Zeitreihe jedoch soweit analysieren, dass das zyklische Verhalten sichtbar wird. Auch die Zykluslängen können leicht ermittelt werden. Voraussetzung für eine solche Analyse ist die Transformation der dargestellten Zeitreihe in einen alternativen Betrachtungsraum - die Frequenz-Domain. Die Zeitreihe wird als Resultat mehrerer überlagerter Signale unterschiedlicher Frequenz betrachtet. Eine Fourier-Transformation bewerkstelligt diese Umwandlung.
Bild 3: Die Fourier-Transformation ist eine Übersetzung der Zeitreihe von der Zeit- in die Frequenz-Domain. Bereits in der graphischen Darstellung der transformierten Zeitreihe wird sichtbar, dass wir es mit einer Reihe zu tun haben, die markante Zyklen aufweist, denn der grösste Teil des Frequenzspektrums weist keinerlei Aktivität auf, während in bestimmten Bereichen deutliche Peaks zu beobachten sind.
Die graphische Darstellung der transformierten Zeitreihe macht bereits deutlich, dass wir es mit einem durchschaubaren Problem zu tun haben. Es gibt in der originalen Zeitreihe markante Zyklen, erkennbar an den Intensitäts-Peaks. Die Frage ist nun, wieviele Frequenzen es sind und um welche Frequenzen genau es sich handelt.
Um dies zu untersuchen, wird aus der transformierten Zeitreihe ein Powerspektrum erzeugt. In einem solchen Diagramm (s. Bild 4) werden auf der x-Achse Zykluslängen und auf der y-Achse die Intensität der mit der jeweiligen Zykluslänge korrespondierenden Frequenz dargestellt.
Bild 4: Das Powerspektrum veranschaulicht die Energieverteilung auf die einzelnen Frequenzbereiche, bereits umgesetzt auf Zykluslängen. So ist am Powerspektrum der im Bild 3 gezeigten Fourier-Transformation deutlich erkennbar, dass die ursprüngliche Zeitreihe das Resultat von lediglich drei überlagerten gleichmässigen Bewegungen ist. Auch die Länge der Zyklen lässt sich ablesen: 13, ca. 9 und 4, was mit den Formeln zur Generierung der experimentellen Zeitreihe übereinstimmt.
Das in Bild 4 dargestellte Powerspektrum enthält die Antwort auf unsere Frage. Die untersuchte Zeitreihe ist das Resultat von drei sich überlagernden gleichmässigen Phänomenen unterschiedlicher Zykluslängen von 13, 9 beziehungsweise 4 Tagen. Mit einigen zusätzlichen Untersuchungen lässt sich nun auch noch feststellen, mit welchem Versatz die einzelnen Zyklen beginnen. Das ist alles, was man wissen muss, um die in Bild 2 dargestellte Zeitreihe zu erweitern und den Wert des Signals am Tag 160 bestimmen zu können.
Bild 5: Skaliert man die y-Achse des in Bild 4 dargestellten Powerspektrums logarithmisch, wird mehr Information sichtbar. Wir haben es nicht mit einem "sauberen" zyklischen Phänomen zu tun. Die gleichmässigen Anstiege der Intensität zu beiden Seiten der Peaks spiegeln deutlich die oben erwähnten Rundungsfehler bei der Erzeugung der experimentellen Zeitreihe wieder.
Das Ergebnis dieser Untersuchungen ist für uns natürlich nicht überraschend, da wir wissen, dass die experimentelle Zeitreihe genau nach einer entsprechenden mathematischen Formel konstruiert wurde. Spannend wird es hingegen, wenn wir die Spektralanalyse auf eine "echte" Zeitreihe anwenden.
Wir haben für dieses Beispiel einen Chart-Ausschnitt der IBM-Aktie gewählt. Da die Fourier-Transformation einige Randbedingungen voraussetzt, mussten wir die originale Zeitreihe bereits einer ersten Transformation unterziehen. Statt der tatsächlichen Close-Preise an einem bestimmten Tag verwenden wir eine alternative Darstellungsform, die Tag-zu-Tag-Prozentabweichungen der Close-Preise.
Die so gewonnene Zeitreihe können wir nun wie oben beschrieben in die Frequenz-Domain transformieren und ein Powerspektrum für die Analyse erzeugen.
Bild 6: Die Spektralanalyse lässt sich natürlich auch auf echte Zeitreihen anwenden. In diesem Bild sehen Sie das Powerspektrum der täglichen Preisänderungen (Daily Returns) der IBM-Aktie. Es macht deutlich, dass diese Reihe das Resultat sehr vieler überlagerter Zyklen ist. Es lassen sich jedoch auch dominante Zyklen erkennen.
Es ist nicht verwunderlich, dass sich dieses Powerspektrum deutlich von dem der experimentellen Zeitreihe unterscheidet. Die Zeitreihe der Daily Returns ist das Resultat der Überlagerung vieler zyklischer Phänomene. Die Analyse birgt nun zwei bedeutsame Erkenntnisse. Zum einen können wir feststellen, dass es dominante Zyklen in der Entwicklung der Aktie gibt. Das dominanteste dieser Phänomene hat eine Zykluslänge von 8 1/2 Tagen. Die zweite wichtige Erkenntnis betrifft jene Frequenzbereiche, deren Energieniveau unter einer gewissen Grenze liegen, beispielsweise 4000. Diese Frequenzen sind das Resultat eher zufälliger Bewegungen. Vom Standpunkt der Informationsgewinnung aus betrachtet, handelt es sich um so genanntes "weisses Rauschen", frei nach dem Motto: Da ist etwas, aber es hat nicht wirklich etwas zu bedeuten.
Dieses "Rauschen" behindert den Analysten und natürlich auch eine Analyse-Software bei der Untersuchung der Zeitreihe. Insofern wäre es wünschenswert, alle Frequenzbereiche, die dieses "Rauschen" transportieren, auszufiltern. Um dies zu erreichen, haben wir mehrere Möglichkeiten. Die eleganteste ist, digitale Filter zu verwenden, wie sie in der Signalverarbeitung eingesetzt werden, beispielsweise um das Knistern aus alten Schallplattenaufnahmen herauszufiltern. Diese digitalen Filter arbeiten direkt an der transformierten Reihe. Diese wird nach der Filterung rücktransformiert. Das Ergebnis ist eine geglättete Zeitreihe, die nur noch die dominanten Informationsbestandteile enthält.
Eine weniger elegante, aber auch wesentlich einfacher zu bewerkstelligende Variante ist der Einsatz von statistischen Filtern. Die meisten technisch interessierten Händler kennen diese Art von Filter. Ein einfacher Gleitender Durchschnitt (Moving Average) beispielsweise filtert Phänomene mit kürzeren Zykluslängen als seine Laufweite. Gleitende Durchschnitte werden gerade wegen ihrer Filterfunktion gern und häufig im Technical Trading eingesetzt. Problematisch ist für den Analysten jeweils die Bestimmung der optimalen Lauflängen der verwendeten gleitenden Durchschnitte.
Das Powerspektrum einer Zeitreihe gibt nun allerdings Aufschluss darüber, welche Lauflänge ein gleitender Durchschnitt haben sollte, um einerseits optimal das "Rauschen" zu filtern, andererseits jedoch die wesentlichen Informationen nicht ebenfalls zu verschlucken. So können wir an dem im Bild 6 dargestellten Powerspektrum der IBM-Aktie sehen, dass gleitende Durchschnitte mit einer Zykluslänge grösser 8.5 die dominanten Informationsbestandteile filtern und daher die Analyse eher behindern als befördern würden. Sinnvoll wäre der Einsatz eines gleitenden Durchschnitts mit einer Laufweite von fünf Tagen. Ein solcher Filter erhält die dominanten Informationsbestandteile und filtert all jene Frequenzbereiche, die im Powerspektrum weiter rechts liegen, also kürzere Zykluslängen als fünf Tage haben.
Unterzieht man die Zeitreihe eines solchen gleitenden Durchschnitts einer Fourier-Transformation und betrachtet das daraus resultierende Powerspektrum, wird die Filterfunktion offensichtlich. Im Powerspektrum tendieren dann die Intensitäten in dem Bereich der Frequenzen mit Zykluslängen kleiner der Laufweite des gleitenden Durchschnitts gegen 0.
