Regressionsforecast

Regressionsforecasts für vorausschauende Gedächtnisstrukturen

Regressionsanalysen sind ein beliebtes statistisches Hilfsmittel zur Veranschaulichung von Trends. Sie finden auch in verschiedenen Risikobewertungen Anwendung, so beispielsweise bei der Jensen- und Treynor-Ratio. Das Grundverfahren der linearen Regression versucht, eine Gerade so in ein zweidimensionales Koordinatensystem zu konstruieren, dass alle Datenpunkte innerhalb des Koordinatensystems möglichst nahe an dieser Geraden liegen.

Die so konstruierte Gerade wird durch die zwei Parameter Alpha (Intercept, Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse) und Beta (Slope, Steigung der Geraden) beschrieben. Mit Hilfe dieser beiden Variablen kann dann für jeden Datenpunkt der Punkt n,y der Regressionsgeraden berechnet werden.

Die Formeln für die Berechnung von Alpha und Beta bei der Analyse von Zeitreihen lauten:

In diesen Gleichungen ist N die Anzahl der Datenpunkte der Zeitreihe, also beispielsweise die Anzahl der Tage, n die Nummer des Datenpunkts, also 1 für den ersten bzw. 1000 für den 1000. Datenpunkt der Zeitreihe. Das heisst, nur für die natürlichen Zahlen (n) auf der x-Achse existieren y-Werte. Die Kurve der Zeitreihe entsteht somit durch die Verbindung aller Punkte n,y der Zeitreihe.

Die Berechnung wird damit für Zeitreihen konstanter Länge verhältnismässig einfach, da die Nenner in den Formeln zur Berechnung von Alpha und Beta jeweils zu Konstanten werden.

Unter Verwendung der so berechneten Alpha- und Beta-Werte kann nun für jeden Punkt n in der Zeitreihe ein Punkt n,y der Regressionsgeraden berechnet werden:

Verbindet man diese Punkte miteinander, ergibt sich eine wie im Bild 1 dargestellte Regressionsgerade. Sie veranschaulicht Richtung und Stärke des Trends der blauen Kurve, die die Zeitreihe darstellt.

Bild 1: Lineare Regressionsgeraden wie die im obigen Bild dargestellte rote Linie veranschaulichen den Trend einer Zeitreihe über deren gesamte Länge. Der Schnittpunkt mit der y-Achse (Alpha) sowie die Steigung der Geraden (Beta) geben Auskunft über Richtung und Stärke des Trends.

Die Regressionsgeraden können für eine Vielzahl von Analysen und Transformationen der untersuchten Zeitreihe herangezogen werden. Eines der interessantesten Einsatzfelder ist das so genannte De-Trending, also die Entfernung von Trends aus der Zeitreihe. Eine solche Transformation ist notwendig, wenn ein lernfähiges Software-System die Zeitreihe untersuchen soll, um beispielsweise Prognosen zu machen oder auch strategisches Handeln zu erlernen. Ein starker Trend würde bei solchen Systemen dazu führen, dass sie immer in die Richtung des Trends prognostizieren, weil sie damit potentiell am ehesten richtig liegen. Ein solches Vorgehen hat allerdings mit Intelligenz nichts zu tun.

Eine Transformation auf Basis von Regressionsverfahren könnte nun beispielsweise wie im Bild 2 dargestellt erfolgen. Hier wird an jedem Datenpunkt n die Differenz des Regressionswertes (rote Linie) und des tatsächlichen Wertes (blaue Linie) gebildet. Die so entstehende transformierte Zeitreihe (grüne Linie) ist um den starken Aufwärtstrend bereinigt. Sie entspricht der blauen Linie, wurde jedoch, bildlich ausgedrückt, um den Steigungswinkel der Regressionsgeraden nach unten geklappt.

Bild 2: Das Diagramm veranschaulicht den Effekt einer Trendreduktion auf Basis linearer Regression. Die durch die Transformation entstandene trendbereinigte grüne Zeitreihe kann nun von Software-Systemen wesentlich besser verarbeitet werden.

Deutlich mehr Informationen als nur Trendrichtung und -stärke lassen sich mit Regressionsverfahren ermitteln, wenn die Regressionsgerade nur über einen Teil der gesamten Datenpunkte konstruiert wird. Ganz wie bei einem Gleitenden Durchschnitt wird hierbei ein Analyse-Fenster n für n durch die Zeitreihe geschoben. Man beginnt beispielsweise mit den ersten 10 Datenpunkten und konstruiert eine lineare Regressionsgerade durch diesen Zeitraum. Fortgesetzt wird mit dem Zeitraum n = 1 ... 11, dann n = 2 ... 12 usw.

Bei der Konstruktion einer Moving Linear Regression Line geht man noch einen Schritt weiter. Anhand der Daten im untersuchten Teilzeitraum werden Alpha- und Beta-Werte errechnet. Diese werden in die oben genannte Formel eingesetzt, um einen hypothetischen Wert für den folgenden Tag zu errechnen. Eine solche Prognose besagt dann: "Wenn sich die Zeitreihe weiter so entwickelt wie in den letzten n Zeitschritten (Tagen zum Beispiel), wird sie am nächsten n (morgen) den Wert y haben." In dem prognostizierten y stecken demnach viele Informationen über den gesamten untersuchten Zeitraum sowie eine Prognose, die auf diesem Wissen basiert.

Diverse auf dem Markt befindliche Prognose-Systeme verwenden dieses Regressionsverfahren für ihre Prognosen. Sie sind damit in Trendphasen recht treffsicher und sogar verhältnismässig genau. Die Formel für die Berechnung des Prognosewertes macht allerdings deutlich, an welchen Punkten in der Zeitreihe ein solches Prognoseverfahren irren wird. Fehlerhafte Prognosen wird ein solches System immer dann ausgeben, wenn sich ein Trend umkehrt, also die Einschränkung "wenn es so weitergeht wie bisher" nicht mehr zutrifft. Nun sind aber gerade die Wendepunkte in einer Zeitreihe von grösstem Interesse, besonders wenn wir es mit der Preiskurve eines Wertpapiers zu tun haben.

Damit sind Systeme, die auf Basis von Regressionsverfahren Prognosen für den kommenden Tag oder gar weiter in die Zukunft abgeben, für den technischen Trader schlicht unbrauchbar, weil sie ihn genau dann im Stich lassen, wenn die Situation gefährlich wird. Die Moving Linear Regression Line und damit auch ihr Forecast können erst dann die Richtung wechseln, wenn die Trendwende bereits eingetreten ist. Dieses Verhalten ist im Bild 3 sehr gut zu sehen. Mitunter braucht die MLR-Kurve zwei Tage, bevor die Prognosen wieder auf Kurs sind. In einem Prognose-System könnte die rote Kurve recht gute Trefferquoten verbuchen und wäre doch nur ein Etikettenschwindel.

Bild 3: Das obige Diagramm zeigt die Unterschiede und Gemeinsamkeiten eines gleitenden Durchschnitts und einer gleitenden Regressionskurve. Ein gleitender Durchschnitt weist immer eine Verzögerung (Lag) auf. In Phasen eines intakten Trends ist dies bei einem Regression Forecast nicht der Fall. An den Umkehrpunkten im Chart hat jedoch auch die rote Kurve ein Lag. Somit folgt sie also dem Trend, statt tatsächlich zu prognostizieren.

Wenn die gleitenden Regressionsanalysen auch nicht wirklich für Prognosen taugen, können sie doch sehr gut für die Implementierung von Kurzzeit-Gedächtnisstrukturen verwendet werden. Das Verhalten von gleitenden Regressionsgeraden hat diverse Parellelen in unserer Logik. Auf Basis früherer Geschehnisse wird eine Verallgemeinerung getroffen. So schliessen wir beispielsweise darauf, dass es bald Nacht wird, wenn wir beobachten, dass es über eine längere Zeit immer dunkler wird. Auch hier fassen wir mehrere aufeinander folgende Beobachtungen zusammen und ziehen daraus eine Schlussfolgerung für die Zukunft.

Mit Hilfe von Software-Bausteinen, die gleitende Regressionsanalysen durchführen können, hat auch eine Computer-Anwendung die Möglichkeit, die Fähigkeit zu solchen Schlussfolgerungen auszubilden und bei der Analyse von Daten anzuwenden.