Time Series Modelling

Geometrische Modellierung von Zeitreihen

Bei der Bewertung der Genauigkeit von Prognose-Systemen wird für gewöhnlich ein rein statistisches Mass verwendet: die durchschnittliche Abweichung zwischen Prognose und tatsächlicher Beobachtung. Das im Zusammenhang mit Neuronalen Netzen gebräuchlichste Mass für die Fehlerbestimmung ist der so genannte Mean Squared Error (MSE), der analog zur Standardabweichung berechnet wird.

Möchte man den Mean Squared Error einer prognostizierten Zeitreihe y gegenüber der tatsächlich beobachteten Zeitreihe x mit jeweils N Datenpunkten ermitteln, kann folgende Formel angewendet werden:

Das Ergebnis ist demnach die durchschnittliche Abweichung zwischen Prognose und tatsächlicher Beobachtung. Unter Verwendung eines solchen Fehlermasses ergibt sich für die beiden in Bild 1 dargestellten Modelle exakt der gleiche Fehler, denn an allen drei Punkten ist die Abweichung zwischen den Prognosen der Modelle und der tatsächlichen Beobachtung gleich gross.

Das Bild zeigt sehr deutlich, dass eine solche Fehlerbestimmung zwar mathematisch korrekt ist, jedoch häufig an den Bedürfnissen des Anwenders vorbeigeht. Stellen wir uns vor, dass es sich bei der dargestellten Reihe um den Kursverlauf einer Aktie handelt und wir auf Basis der Prognosen handeln wollen. Folgen wir den Prognosen des Modells 2, verlieren wir an allen Tagen. Obgleich der MSE von Modell 1 gleich gross ist, würden wir hingegen mit den Prognosen dieses Modells gewinnen.

Bild 1: Obiges Bild zeigt drei Datenpunkte einer Zeitreihe (durchgezogene Linie) sowie die an den jeweiligen Zeitpunkten ausgegebenen Prognosen zweier neuronaler Modelle (gestrichelte und gepunktete Linie). Bestimmt man den Prognose-Fehler der Modelle, ergibt sich für beide Modelle exakt der gleiche Fehler: An jedem Datenpunkt ist die Abweichung beider Modell-Prognosen von der tatsächlichen Beobachtung gleich gross. Dennoch ist das Modell 1 offensichtlich genauer, denn es trifft genau den Kurvenverlauf und weicht lediglich im Niveau von der Beobachtung ab. Eine geometrische Fehlerbetrachtung macht den Qualitätsunterschied deutlich.

Insbesondere bei der strategischen Betrachtung von Finanzzeitreihen spielt weniger die mathematische Treffsicherheit im Sinne des MSE eine Rolle als vielmehr die Genauigkeit bei der Prognose des Kurvenverlaufs. Eine geometrische Betrachtung statt der statistischen Beurteilung ist demnach angebracht.

Was auf die Ermittlung des Prognose-Fehlers zutrifft, gilt ebenso für die Modellierung der Zeitreihe bei der Aufbereitung für den neuronalen Lernprozess. Gebräuchliche neuronale Systeme für Finanzprognosen verwenden die aus dem Technical Trading bekannten Marktindikatoren wie etwa Gleitende Durchschnitte, Rate of Change (ROC), Relative Strength Index (RSI) u. a. Eine Auswahl dieser Indikatoren kann auch mit NeuroStrategy eingesetzt werden.

Zusätzlich haben wir jedoch eine Methode zur Modellierung von Zeitreihen entwickelt, die explizit das geometrische Verhalten der Zeitreihe aufzeigt. Für gewöhnlich gilt das Interesse der Prozentabweichung zwischen zwei Zeitpunkten:

Dieser Indikator gibt den Return von Tag 0 zu Tag t als Faktor an, also beispielsweise 0.1 für 10% Gewinn bzw. -0.08 für einen Verlust von 8%. Für eine geometrische Modellierung lässt sich alternativ ein Indikator-Paar berechnen:

Der erste Indikator gibt den Return geglättet durch Normalisierung gegen den aktuellen Wert an, während der zweite Indikator, proportional zum Kurvenverlauf und ebenfalls normalisiert, geometrische Zusatzinformationen liefert. Für die Modellierung ergeben sich nun diverse Optionen. Zum einen muss entschieden werden, welche Reihe modelliert werden soll, beispielsweise die Reihe der Schlusskurse. Alternativ kann man auch die Folgen Open(n-1), Close(n-1), Open(n), Close(n) als eine Zeitreihe betrachten und entsprechend modellieren. Auch die Spanne n muss sinnvoll gewählt werden.

Das Ergebnis ist ein Indikator, der zum einen bereits normalisiert ist, zum anderen deutlich mehr Informationen aus der Zeitreihe in einer für ein Analyse-System sinnvollen Art extrahiert. Ein reines Prognose-System könnte nun so trainiert werden, dass es zum Beispiel ein vergleichbares Indikator-Paar zu prognostizieren hat. Die beiden unabhängigen Prognosen können dann addiert werden, denn die Summe aus I1 und I2 ergibt den t-Return I.

Ein strategisches neuronales System kann von diesen genaueren Prognosen selbstverständlich ebenfalls profitieren und gewinnt insbesondere aus dem I2-Indikator wertvolle Informationen über die Bewegungskräfte im Kursverlauf.